Однородные многогранники

При первом же знакомстве с этой темой у вас возникает естественный вопрос: что такое многогранник? Вы можете припомнить, что собственно геометрию определяют иногда (не вполне точно) как науку о пространстве и пространственных фигурах — двумерных в планиметрии и трёхмерных в стереометрии. Возможно, вам также знакомо понятие множества. Если использовать теоретико-множественный язык, то фигуру на плоскости можно бы было описать как множество отрезков прямых, ограничивающих часть плоскости. Такая плоская фигура называется многоугольником. Из этого следует, что многогранник можно определить как множество многоугольников, ограничивающих часть трёхмерного пространства.

Все термины, которыми мы будем пользоваться в нашей книге, пришли к нам от древних греков. Влияние знаменитого греческого мыслителя Платона сказалось и на «Началах» Евклида. В этой книге, которая на протяжении веков была единственным учебником геометрии, дано описание «идеальных» линий и «идеальных» фигур. Самая идеальная линия — прямая и самый идеальный многоугольник —  п р а в и л ь н ы й  многоугольник, иными словами, многоугольник, имеющий равные стороны и равные углы. Простейшим правильным многоугольником можно считать равносторонний треугольник, поскольку он имеет наименьшее число сторон, которое может ограничивать часть плоскости. Интересно, что «Начала» Евклида открываются описанием построения правильного треугольника и заканчиваются изучением пяти правильных многогранных тел! Каждый из этих пяти многогранников имеет гранями правильные многоугольники одного типа. В наше время они известны под именем пяти платоновых тел. Тетраэдр, гранями которого являются четыре равносторонних треугольника, можно считать трёхмерным аналогом плоского правильного треугольника, поскольку он имеет меньше всего граней, отделяющих часть трёхмерного пространства.

Общую картину интересующих нас правильных многоугольников наряду с равносторонним (правильным) треугольником составляют: квадрат (четыре стороны), пентагон (пять сторон), гексагон (шесть сторон), октагон (восемь сторон) и декагон (десять сторон): при этом, разумеется, все стороны и все углы каждого из них должны быть равны между собой. Как только вы приступите к построению моделей. описанных в этой книге, вам не составит особого труда научиться точно вычерчивать эти фигуры; к тому же вы познакомитесь с важнейшими их свойствами. В частности, вам важно будет знать величины внутренних углов многоугольников в градусах. Не все многоугольники вы найдёте на гранях правильных тел: этими гранями служат лишь три из них. Гексаэдр (шесть граней), обычно называемый кубом, имеет квадратные грани: грани октаэдра (восемь граней) — равносторонние треугольники; все грани додекаэдра (двенадцать граней) — пентагоны: наконец, гранями икосаэдра являются двадцать равносторонних треугольников. «Начала» Евклида завершаются доказательством того, что существуют пять и только пять правильных многогранников.

Чтобы прийти к идее этого доказательства, вам стоит немного поэкспериментировать с картонными многоугольниками. Подобно тому как две стороны многоугольника соединяются в вершине, так и любые две грани многогранника соединяются общей стороной (или пересекаются вдоль общей стороны — что то же самое). Эти стороны принято называть рёбрами многогранника. Каждое ребро является общей стороной двух и только двух многоугольных граней. Сами рёбра сходятся в точках, именуемых вершинами многогранника.

В тетраэдре в каждой вершине сходятся три ребра, иными словами, каждая вершина окружена тремя треугольниками. Если развернуть эти треугольники на плоскость, можно подсчитать, сколько градусов содержит полученный при этом их общий угол. Поскольку внутренний угол равностороннего треугольника равен 60°, три таких угла дадут в сумме 3 × 60° = 180°. Если мы приложим к нему ещё один равносторонний треугольник, то получим в сумме 240°. Но в таком случае мы придём к развёртке вершины октаэдра. Добавление ещё одного треугольника даёт 300°, и мы получаем развёртку вершины икосаэдра. Наконец, добавление шестого треугольника даёт полный угол в 360° — и мы сразу убеждаемся, что он не может соответствовать никакой вершине многогранника1.

Перейдём к квадратам. Естественно, что наименьшее их число равно трём. Три раза по 90° дают 270°; так получается вершина куба. Добавляя ещё один квадрат, мы снова приходим к полному углу в 360° — и останавливаемся. Для пятиугольников минимальное число граней — три — даёт нам вершину додекаэдра; если же мы возьмём более трёх пентагонов, то суммарный угол даже превзойдёт 360°. Для шестиугольников (гексагонов) уже и минимальное их число — три — слишком велико: три раза по 120° сразу дают 360°. Поэтому правильного многогранника с гексагональными гранями не существует. Тем более не подходят правильные многоугольники с числом сторон, большим шести. Таким образом, мы убеждаемся, что может существовать лишь пять правильных многогранников.

Известно ещё множество тел, получивших название архимедовых, или полуправильных многогранников. У них также все многогранные углы равны и все грани — правильные многоугольники, но нескольких разных типов. Существует 13 полуправильных многогранников2, открытие которых приписывается Архимеду, впервые перечислившему их в не дошедшей до нас рукописи. Ссылки на эту работу имеются в рукописях математика Паппа, который жил в III в. н. э. Кеплер первым из современных математиков развил полную теорию этих тел.

Множество архимедовых тел можно разбить на несколько групп. Первую из них составят пять многогранников, которые получаются из платоновых тел в результате их  у с е ч е н и я. Усечённое тело есть не что иное, как тело с отрезанной верхушкой. Усечением называется удаление некоторых частей тел, а в нашем случае — удаление всех частей, расположенных около вершин, вместе с самими вершинами. Для платоновых тел это можно сделать таким образом, что и получающиеся новые грани, и остающиеся части старых будут правильными многоугольниками. К примеру, тетраэдр можно усечь так, что его четыре треугольные грани превратятся в четыре гексагональные, а к ним добавятся четыре правильные треугольные грани. Так могут быть получены пять архимедовых тел: усечённый тетраэдр, усечённый гексаэдр (куб), усечённый октаэдр, усечённый додекаэдр и усечённый икосаэдр.

Другую группу составляют всего два тела, именуемых также квазиправильными многогранниками. Частица «квази» подчёркивает, что грани этих многогранников представляют собой правильные многоугольники всего двух типов, причём каждая грань одного типа окружена многоугольниками другого типа. Эти два тела носят названия кубооктаэдр и икосододекаэдр. Подробнее на них мы остановимся ниже (модели 11 и 12).

Два последующих многогранника называются ромбокубооктаэдром и ромбоикосододекаэдром. Иногда их называют также «малым ромбокубооктаэдром» и «малым ромбоикосододекаэдром» в отличие от большого ромбокубооктаэдра и большого ромбоикосододекаэдра. Если процесс усечения применить к двум квазиправильным телам — кубооктаэдру и икосододекаэдру, то новые полученные грани будут в лучшем случае прямоугольниками, но не квадратами. Однако дальнейшие модификации могут превратить эти прямоугольники в квадраты. Вот почему некоторые авторы называют большой ромбокубооктаэдр и большой ромбоикосододекаэдр «усечённым кубооктаэдром» и «усечённым икосододекаэдром» соответственно. В нашей книге мы предпочитаем называть их ромбоусечённым кубооктаэдром и ромбоусечённым икосододекаэдром. Приставка «ромбо» указывает на особый способ получения квадратных граней, который был применён для построения этих двух тел из двух квазиправильных многогранников. Это даёт нам право опустить определение «малые» перед названиями двух ранее введённых тел.

Наконец существуют две так называемые «курносые» модификации — одна для куба, другая — для додекаэдра. Для каждой из них характерно несколько повёрнутое положение граней, что даёт возможность построить два различных варианта одного и того же «курносого» многогранника (каждый из них представляет собой как бы зеркальное отражение другого). Такие варианты, отличающиеся друг от друга, как правая рука отличается от левой, называются энантиоморфными.

Если вы достаточно упрямы и склонны к систематическим занятиям, то ради собственного удовлетворения, прибегая к тем же рассуждениям, которые мы применяли для платоновых тел, можете доказать, что число архимедовых тел равно 133. При этом следует исходить из теоремы стереометрии, утверждающей, что сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°. Испробовав все возможные комбинации правильных многоугольников, удовлетворяющие этой теореме, вы придёте к развёрткам вершин в точности тринадцати архимедовых тел и двух бесконечных семейств — семейства призм (с квадратными боковыми гранями) и семейства скошенных призм4 (с боковыми гранями в виде правильных треугольников)5.

Объединение описанных выше множеств платоновых и архимедовых тел вкупе с бесконечными семействами призм и скошенных призм образует множество тел, называемых выпуклыми однородными многогранниками. Выпуклость многоугольника означает, что ни один его внутренний угол не превосходит 180°. Аналогично выпуклость многогранника сводится к тому, что ни один из его внутренних двугранных углов (образованных соседними гранями) не превосходит 180°. Свойство, по смыслу противоположное выпуклости, иногда называют вогнутостью. Многогранники с полостями, впадинами или выступающими пиками будут невыпуклыми, то есть вогнутыми. Слово однородные в применении к рассмотренным выше многогранникам означает, что все их грани суть правильные многоугольники и все многогранные углы равны. В однородных многогранниках каждую вершину окружают многоугольники в одном и том же порядке. Так, например, для ромбоикосододекаэдра порядок следования граней вокруг вершин таков: треугольник, квадрат, пятиугольник и другой квадрат. Этот порядок сохраняется для любой вершины.

В дальнейшем вам довольно часто будет попадаться термин энантиоморфный. Он всего-навсего выражает свойство быть «правым» или «левым» экземпляром, подобно двум перчаткам одной пары или предмету и его отражению в зеркале. Если выбрать какой-либо порядок цветов и раскрасить грани, примыкающие к некоторой вершине в этом порядке по часовой стрелке, то энантиоморфной раскраской будет обратная — в том же порядке против часовой стрелки.

Для обозначения цветов мы воспользуемся следующими сокращениями: Ж — жёлтый, С — синий, О — оранжевый, К — красный, 3 — зелёный, Б — белый, Ч — чёрный.

Несомненно, все новые термины, равно как и классификация многогранников, станут для вас понятнее и осмысленнее после того, как вы самостоятельно изготовите модели выпуклых однородных многогранников, собранные в первой части книги.



     1 Сумма плоских углов любого выпуклого многогранного угла всегда меньше 360°.
     2 Или 14 (см. модель 13).
     3 Точнее, 13 равно числу типов вершин таких многогранников. Ср. со сказанным о модели 13.
     4 Иногда их называют антипризмами.
     5 Желающих подробнее ознакомиться с этим вопросом можно отослать к книге [2] и статье [3]; см. также названную ниже книгу L i n e s  L., Solid Geometry.


<—     Содержание     —>


Hosted by uCoz