Замечания о невыпухлых курносых многогранниках

Существуют всего два выпуклых курносых многогранника — курносый куб и курносый додекаэдр. Среди невыпуклых тел таких многогранников не меньше девяти или даже десяти, если мы согласимся отнести в их разряд многогранник 119, в общем-то довольно заметно отличающийся от всех остальных. В случае выпуклых тел их «курносость» проявлялась в несколько повёрнутом положении квадратных и пятиугольных граней по отношению к граням описанного куба и соответственно описанного додекаэдра. Поскольку такой поворот можно было осуществить в двух противоположных направлениях, мы имели возможность получить две модификации каждого тела — правостороннюю и левостороннюю; каждая из них являлась зеркальным образом другой. Симметрия достигалась и в отношении различно расположенных треугольных граней, образующих «курносую» сеть треугольников на поверхности каждой модификации. Нечто подобное мы найдём и у невыпуклых многогранников. Модель 119 здесь выделится тем, что у неё и диаметральные квадратные грани смогут получить двоякую ориентацию.

Трафареты для изготовления граней курносых тел кажутся на удивление несимметричными и неправильными. Здесь вы нигде не найдёте обычных симметрий, за исключением двух случаев - очень простой модели 110 и, как ни странно, весьма сложной модели 118. Поскольку сами тела не имеют плоскостей симметрии (они обладают симметрией вращения), сложные пересечения граней определяют запутанные трафареты, характерные точки которых можно установить лишь путём вычислений. Это предполагает использование координатного метода, то есть аналитической геометрии. Обычные циркуль, линейка и транспортир здесь мало помогут.

Нужные вычисления были произведены Р. Бакли при помощи электронной вычислительной машины. Вкратце по его программе машина делала следующее: выбиралась система сферических координат, полярная ось которой совпадала с осью симметрии вращения, а нулевой меридиан проходил через вершину многогранника. Далее вычислялись координаты всех вершин многогранника, которые потом приводились к обычным декартовым осям. Нахождение линий и точек пересечения разных граней сводилось к решению систем линейных уравнений. Машина позволяла производить вычисления с шестью значащими цифрами. Для построения моделей такая точность представляется даже излишней. [с помощью кульмана - да, но с помощью пакета КОМПАС - достаточной]

Приведённые ниже чертежи скопированы с чертежей реальных моделей [виртуальных мооделей Владимира Булатова], у которых длина ребра составляла около 20 см (а для моделей 117 и 118 даже около 50 см). На чертежах граней показаны лишь основные [все] линии пересечения. Как обычно, выделены внешние части граней: светлой штриховкой отмечены части, видимые с лицевой стороны, а зачернены видимые с тыльной стороны. Численные данные приведены с точностью до двух значащих цифр [до микрона]. Все модели, показанные на фотографиях, имеют высоту не больше 30 см, за исключением моделей 117 и 118, высота которых около 60 см. Если вы воспользуетесь приведёнными в описаниях чертежами заготовок, то получите примерно такие же модели.




<—     Часть 3     —>


Hosted by uCoz