Икосододекаэдр имеет 32 грани, из которых 12 являются правильными пятиугольными гранями, а остальные 20 — правильные треугольники. Казалось бы, столь большое число граней потребует сложнейших исследований. На самом же деле нам предстоит изучить два трафарета, каждый из которых образован 30 прямыми.

Перед тем как перейти к чертежам, заметим, что икосододекаэдр можно рассматривать как пересечение додекаэдра и икосаэдра. Их трафареты нам уже известны. Вряд ли следует добавлять, что они должны быть сходными с нужными нам трафаретами. Это соображение послужит нам путеводной нитью. Трафареты, приводимые слева (рис. 32 и 33), можно проверить при помощи модели икосододекаэдра, как мы это делали ранее.

Как показывают два новых трафарета, продолжение граней икосододекаэдра приводит к появлению новых отсеков 40 различных типов. Вряд ли вы окажетесь настолько честолюбивыми, что захотите проверить это утверждение, тем более что далее об этом не будет сказано ни слова, если не считать одного краткого замечания. Поскольку чертежи для трафаретов икосододекаэдра содержат элементы трафаретов додекаэдра и икосаэдра, новые отсеки для икосододекаэдра можно рассматривать как блоки, из которых состоят дополнительные отсеки звёздчатых форм додекаэдра и икосаэдра. Иными словами, эти последние сами разбиваются на части продолжениями граней икосододекаэдра.

Последующие многогранники представляют лишь часть множества всех звёздчатых форм икосододекаэдра. Вы сразу заметите, что некоторые из них являются соединениями или видоизменениями трёх звёздчатых додекаэдров или некоторых звёздчатых икосаэдров и сохраняют присущую исходным частям красоту. Однако являются ли эти многогранники однородными? Видимо, нет. Иногда можно отметить поразительное сходство между этими моделями и моделями однородных многогранников, но все же ни один из многогранников, о которых мы говорим, не удовлетворяет определению однородности.

Что касается вопроса о том, могут ли получившиеся многогранники оказаться правильными, то на него давно получен ответ. Великий математик Коши ещё в 1811 году доказал, что список правильных многогранников исчерпывается пятью платоновыми телами вкупе с четырьмя многогранниками Кеплера - Пуансо. Так что если вы захотите отыскать новое тело, то лишь пополните ряды тех, кто бесплодно пытается осуществить квадратуру круга, удвоение куба или трисекцию угла¹.

Модели звёздчатых икосододекаэдров описаны под номерами 47—66.