Книга, с которой вы только что познакомились, посвящена  м н о г о г р а н н и к а м. Её страницы заполняют фотографии и рисунки, изображающие разнообразные многогранные тела — сравнительно простые на первых страницах, но постепенно доходящие до весьма изысканных форм, которые непросто даже вообразить, не говоря уж об изготовлении соответствующих моделей. С другой стороны, многогранники принадлежат к числу объектов, которые изучает геометрия — наука, знакомая всем нам ещё со школьной скамьи. Исходя из этого, казалось бы естественным отнести книгу «Модели многогранников» к сочинениям геометрического содержания и считать, что перед нами научно-популярная книга по геометрии. Однако такой подход к книге, которую вы держите сейчас в руках, представляется мне не совсем правильным. Несколько заостряя вопрос, можно сказать, что к  н а у к е  геометрии книга Веннинджера имеет примерно такое же отношение, как альбом рисунков зверей — к науке зоологии или знаменитая картина Рафаэля «Афинская школа» - к науке философии: ведь автор в ней ничего не доказывает, а предмет геометрии составляют именно доказательства, позволяющие чисто логическим путём выводить одни геометрические факты из других, известных нам ранее. Поэтому, как мне кажется, книгу «Модели многогранников» надо рассматривать просто как  а л ь б о м, в котором собраны изображения удивительно красивых пространственных форм. Показ фотографий сопровождается практическими указаниями по моделированию собранных форм, причём указаниями весьма прозаическими: в них указывается, в каком порядке следует изготавливать отдельные детали той модели, которую вам захотелось подержать в руках, и как целесообразнее всего склеивать между собой эти детали.

Разумеется, ребёнок, перелистывающий красочный альбом с изображениями зверей или прогуливающийся по зоопарку, может впоследствии всерьёз заинтересоваться животными и стать выдающимся зоологом, а изображённые на картине Рафаэля философы, возможно, и в самом деле побудят кого-либо к занятиям философией. Но и в том случае, если этого не произойдёт (а таких случаев, конечно, — большинство), прогулка по зоосаду или разглядывание картины великого художника не только доставляют нам эстетическое наслаждение, но и расширяют наш кругозор. Сходное значение, как мне кажется, имеет и изучение этой любопытной книги, причём она, бесспорно, доставит удовольствие и окажется небезынтересной даже для тех читателей, кто отнюдь не намерен заниматься изготовлением рассмотренных в ней моделей. Но особую пользу книга Веннинджера принесёт всем тем, кто вслед за автором захочет собственноручно смастерить кое-какие из описанных моделей (выпуклых и звёздчатых) многогранных форм.

Обращаясь именно к этой категории читателей (причём здесь легко представить себе и «коллективного умельца», пытающегося воплотить в жизнь описанные Веннинджером модели, — например, группу школьников, работающую под руководством учителя математики, черчения или труда), позволю себе сделать несколько рекомендаций. Модели проще всего делать из белых листков картона или плотной бумаги (для этой цели могут подойти, в частности, библиографические карточки — они иногда продаются), раскрашивая отдельные заготовки в разные цвета (здесь я рекомендовал бы использовать темперу). Следует также тщательно выбрать клей — он должен быстро засыхать и не образовывать комков. Постарайтесь выбрать самую плотную цветную бумагу — тогда модель не будет мяться. Можно использовать для изготовления моделей и продающиеся в писчебумажных магазинах наборы цветной бумаги; однако в таком случае бумагу эту следует наклеить на более плотные белые листы, так как иначе полученные вами модели окажутся недостаточно прочными и будут легко сминаться.

Как уже было сказано выше, чтобы получить удовольствие от книги Веннинджера, вовсе не обязательно проявлять серьёзный интерес к геометрии. Однако и тем, кто по-настоящему увлечён этим предметом, книга доставит не меньшее удовольствие. В списке литературы, приведённом в конце книги, читатель найдёт ряд сочинений, позволяющих ознакомиться с началами геометрической теории многогранников; рекомендую начать с элементарных учебников [1] и [2]. В рассчитанном на учащихся средней школы сборнике геометрических задач [6] (сопровождаемых собранными в конце книги подробными решениями) теории многогранников также уделено весьма много места. Более серьёзными по содержанию являются статья [3] и сочинение [4] автора предисловия к настоящей книге, выдающегося канадского геометра Гарольда С. М. Кокстера (правильнее было бы сказать Коксетера, но у нас, к сожалению, укоренилась неточная транскрипция фамилии этого учёного); однако и они, на мой взгляд, вполне доступны любознательному читателю, пусть обладающему лишь школьной подготовкой.

Следует отметить, что зародившаяся ещё в Древней Греции (а может быть, и того раньше) теория многогранников переживает ныне период нового расцвета. Чтобы убедиться в сказанном, достаточно сравнить две книги: вышедшую в 1950 году и сегодня относимую чуть ли не к «математической классике» монографию А. Д. Александрова [9], подытожившую большой этап развития соответствующей теории, и почти одноимённую с ней обширную монографию Б. Грюнбаума [11], увидевшую свет в 1967 году и в определённом смысле знаменующую собой новый этап: список литературы к последней книге содержит около 450 названий, бóльшая (!) часть которых относится к 60-м годам нашего столетия (причём в ряде важных аспектов книгу Грюнбаума уже сегодня можно считать устаревшей). Этот неожиданный «взрыв» интереса к древним многогранникам в значительной степени объясняется новыми применениями, которые получила теория (выпуклых) многогранников в математической экономике и в имеющей в наши дни чисто прикладной характер теории графов. Наряду с этим существенную роль сыграло здесь также типичное для современной математики «смещение акцентов» по сравнению с первой половиной текущего столетия. Сейчас на авансцену математической науки выдвинулись весьма далёкие от дифференциального и интегрального исчисления (составляющего ядро математики в XVII — XIX веках) «конечные», или «дискретные», объекты, примером которых могут служить и многогранники, задаваемые указанием конечного числа своих элементов (вершин, рёбер и граней) и иногда довольно сложной системой «инцидентностей» этих элементов (то есть указаниями о принадлежностях вершин рёбрам, вершин — граням и рёбер — граням)¹.

Даже весьма бегло просмотревший книгу «Модели многогранников» читатель сразу же отметит, что её автора интересуют отнюдь не все многогранники, а лишь самые «красивые» из них. Разумеется, субъективное представление о красоте не поддаётся пока математической формализации (и, надо надеяться, полная формализация здесь никогда не будет достигнута!); однако для нашего времени характерно «нащупывание» первых подходов к «математизированному» описанию понятия «красивого»². В частности, красота рассматриваемых Веннинджером правильных и полуправильных (однородных) многогранников (а также других многогранников, близких к однородным), бесспорно, связана с высокой степенью их «симметричности». Симметрия же пространственных форм сегодня является чисто математическим понятием: она задаётся совокупностью всех самосовмещений данной формы, иными словами, всех движений, переводящих форму в себя. По этому поводу читателя можно отослать в первую очередь к замечательной книге одного из основоположников современной математики и математического естествознания Германа Вейля [27], а также к более близким к теме о «моделях многогранников» сочинениям [29] и [30]. Во всех указанных книгах достаточно подробно говорится о связи понятий «красота» и «симметрия»³ и обсуждаются факторы, частично поясняющие причины привлекательности изображённых на страницах данной книги моделей.

Видимо, именно эстетические соображения определили большой интерес к правильным и полуправильным телам античных авторов: Платона, по имени которого выпуклые правильные многогранники зачастую (впрочем, без достаточных к тому оснований) называются «платоновыми телами»; Евклида, уделившего этим телам очень большое место в своих «Началах»⁴; Архимеда, впервые перечислившего все выпуклые полуправильные многогранники (которые с тех пор называются «архимедовыми телами»); Паппа и др. Эстетическая же привлекательность рассматриваемых тел в совсем другой исторический период вызвала пристальное к ним внимание прославленного Иоганна Кеплера (впервые восстановившего математическое содержание утерянного трактата Архимеда о полуправильных телах⁵): Кеплер пытался объяснить строение Вселенной исходя из принципов целесообразности и красоты (что не слишком, кстати сказать, отличается от научных воззрений нашего времени, хотя основные предпосылки современных учёных далеко ушли от кеплеровского мистицизма) — и в этой связи многократно возвращался к правильным телам.

Хорошо известно, что размышления Кеплера относительно строения солнечной системы, в итоге привёдшие к знаменитым «законам Кеплера», начались с попытки (впоследствии оказавшейся неудачной) связать само число известных к тому времени планет солнечной системы, а также расстояния этих планет от Солнца с пятью правильными многогранниками: согласно первому (и, несмотря на всю его ошибочность, замечательному) сочинению Кеплера «Предвестник космографических исследований, содержащий космографическую тайну» («Prodromos Dissertationum Cosmographicarum, Contiens Mysterium Cosmographicum», 1596), орбиты всех планет солнечной системы расположены на сферах, которые последовательно вписаны в одни правильные тела и описаны вокруг других (в сферу, на которой лежит орбита Сатурна, вписан куб; в этот куб вписана «сфера Юпитера»: в последнюю вписан правильный тетраэдр, а в него — «сфера Марса» и т. д.) — в этом-то, по Кеплеру, и заключается «космографическая тайна»⁶. В предисловии к настоящей книге Кокстер цитировал замечательный как по содержанию, так и по литературной форме трактат Кеплера «О снежинке, или Новогодний дар» («Mathematice Sterna Seu De Nive Sexangula», 1611), в котором были предвосхищены многие идеи современной геометрии и в котором правильные многогранники «обыгрываются» весьма широко. Наконец в своём основном труде — многотомной «Гармонии мира» («Harmonices Mundi» в 5 книгах; 1619) — Кеплер впервые указал на существование правильных звёздчатых многогранников (полная теория их изложена в гораздо более поздних по времени статьях О. Коши и А. Кэли [24]).

Новая волна интереса к правильным многогранникам и родственным им телам⁷ сегодня связана с той ролью, которую в современной науке играют соображения симметрии (об этом говорится, например, в вводной статье к книге [27], а также в [28] и [33]). Существенным здесь оказался и чисто прикладной аспект учения о «правильных телах» и свойственных им системах симметрии, связанный с кристаллографией (см. [29] или [30]). Курьёзным проявлением этого интереса явилось независимое открытие несколькими учёными в разных странах «дополнительного» полуправильного тела, видимо, не замеченного ни Архимедом, ни Кеплером, благодаря чему был устранён существовавший 2000 лет досадный пробел в теории этих тел⁸. Любопытно также отметить почти одновременное появление в наши дни двух весьма близких сочинений о правильных и полуправильных многогранниках, их выпуклых и звёздчатых формах: я имею в виду книгу Веннинджера «Модели многогранников» и несколько более «математичную» книгу американского ученого Алана Холдена [20].

Не миновал интерес к соответствующим пространственным образам также и нашу страну, о чём свидетельствуют, например, недавние статьи [26] (автор которых, видимо, ранее был незнаком ни с настоящей книгой, ни с книгой Холдена). Ясно, что характерный для нашего времени широкий интерес к «правильным телам» в наиболее общем понимании этого термина никак нельзя объяснить только чисто декоративным значением соответствующих пространственных форм, о котором по преимуществу говорит Веннинджер в предисловии к настоящей книге: этот интерес имеет более глубокие основания, которые, однако, вовсе не обязательно в полной мере осознать читателю, пожелавшему перелистать страницы предлагаемой его вниманию книги⁹.

Чему же сможет научиться читатель, внимательно изучивший собранные в настоящей книге-альбоме пространственные формы или даже попытавшийся самостоятельно изготовить те или иные из описанных в ней моделей? Прежде всего, книга будет способствовать развитию его «пространственного видения»: в частности, внимательно изучившему книгу будущему инженеру в дальнейшем не покажутся сложными никакие технические механизмы. Но гораздо более важным кажется мне то, что потенциальный читатель этой книги научится многосторонне воспринимать имеющую огромное общеобразовательное значение идею  с и м м е т р и и — и это независимо от того, знаком он с математическим определением симметрии или нет. Кроме того, читатель (особенно «активный» читатель, который воспримет книгу как «руководство к действию») научится распознавать (и создавать) ту «холодную» красоту многогранных (или «кристаллических»¹⁰) форм, которую с известным основанием можно рассматривать как «прообраз» красоты вообще и о которой с таким волнением говорил видный английский кристаллограф Чарлз Банн ([30], стр. 92):

«Кристаллические формы, исключительно примитивные с точки зрения художника, во всяком случае несут в себе нечто от эстетической привлекательности простоты: изучая эти элементарные формы, мы как бы приближаемся к самим основам понятия формы; пытаясь же понять принципы их строения, мы узнаем нечто о природе пространства, о мире, в котором мы живем. В нашем восприятии кристаллических форм есть нечто общее с впечатлением от египетских сфинксов или пирамид (огромная сила эстетического воздействия которых заключена в строгости их очертаний и в простоте) и что-то созвучное нашему отношению к суровости чистой математики».

Так, может быть, это не так уж и мало?

И. Яглом