Итак, вы увидели, к каким результатам приводит процесс продолжения граней, применённый к платоновым телам. Вас, возможно, удивит, что эта же операция в применении к архимедовым телам приносит что-либо заслуживающее упоминания. Но в действительности это так. Характер самого процесса не меняется: по-прежнему все грани исходного тела продолжаются неограниченно, отсекая от окружающего пространства новые, дополнительные части. Пользуясь этими отсеками, как строительными кирпичами, мы получаем возможность изготовить множество моделей — теоретически сколь угодно много. На практике, однако, разумнее делать модели не путём добавления новых отсеков (хотя некоторое представление об их форме было бы только полезным), но применять предлагаемую систему работы с заготовками. А для этого вам необходимо ознакомиться с трафаретом, на котором впоследствии вы легко будете находить все части нужных заготовок.

Впрочем, теперь вы, возможно, спрашиваете себя: а стоит ли вообще этим заниматься? Не слишком ли много труда потребуют эти модели? Будем откровенны — объём предстоящей работы начинает казаться просто ошеломляющим. Честно говоря, эта работа по силам не одному человеку, а, скорее, группе лиц¹. Трудно найти опубликованные материалы, которые затрагивали бы эту тему. Несомненно, это в первую очередь связано с великим нагромождением возникающих форм. В математике ещё даже не решена проблема полного перечисления всех возможных здесь случаев. Понятно лишь, что в основе перечисления должны лежать какие-то ограничения, подобные тем, которые нашёл Дж. Миллер для случая икосаэдра. Звёздчатые формы архимедовых тел не всегда так привлекательны на вид, что вызывают эстетическое наслаждение, хотя среди них можно найти некоторые многогранники, которые удовлетворят самому изысканному вкусу. Особый интерес, как правило, вызывают заключительные звёздчатые формы.

С математической точки зрения чрезвычайно важен один вопрос: будут ли звёздчатые формы архимедовых тел правильными либо однородными многогранниками? Прежде чем пытаться ответить на этот вопрос, поучительно проследить, к каким результатам приводит процесс продолжения граней в применении хотя бы к двум архимедовым телам.

Мы выбрали кубооктаэдр и икосододекаэдр, исходя из их тесных связей с двойственными парами платоновых тел. Мы также учли, что как квазиправильные тела они представляют наибольший интерес и подходят для целей порождения новых правильных или однородных многогранников.

Посмотрим теперь, как строить трафареты для заготовок. Если вы вернётесь назад, к случаю октаэдра, то заметите, что трафарет, которым мы пользовались, на самом деле представляет собой набор из шести прямых. Подсчёт их числа облегчается тем, что они группируются в три пары параллельных прямых (рис. 28). Внутренний треугольник представляет собой одну грань исходного октаэдра. Если модель октаэдра положить на этот чертёж так, чтобы какая-либо грань в точности покрывала внутренний треугольник, то остальные прямые на чертеже совпадут с линиями пересечения других граней с плоскостью исходного треугольника. А поскольку треугольник на вершине так расположенного тела прямо противоположен исходному треугольнику, то он лежит в плоскости, параллельной плоскости чертежа. Именно поэтому он и не порождает новых линий на чертеже трафарета. Так по трафарету можно подсчитать все восемь граней октаэдра.

Обратясь теперь к додекаэдру, мы увидим, что 12 его граней породят трафарет, состоящий из пяти пар параллельных прямых (рис. 29). Если на этот чертёж положить модель додекаэдра так, чтобы одна из его граней совпала с центральным маленьким пятиугольником, и смотреть вдоль остальных граней тела, то видно, что продолжения этих граней упираются как раз в линии, указываемые чертежом.

В случае икосаэдра получается аналогичный результат. 20 его граней порождают трафарет из девяти пар параллельных прямых (рис. 30).

Теперь вам, очевидно, стал понятнее принцип, положенный в основу построения трафарета. Ясно, что случай архимедовых тел, имеющих грани различных типов, требует построения такого же числа трафаретов.

Кубооктаэдр имеет 14 граней: восемь из них — правильные треугольники, а остальные шесть — квадраты. Поэтому здесь необходимы два разных трафарета, каждый из которых состоял бы из 12 прямых. Трафарет для треугольной грани образован из трёх групп, состоящих каждая из четырёх параллельных прямых; трафарет для квадратных граней — из двух пар и двух четвёрок параллельных прямых (рис. 31). Располагая этими трафаретами, нетрудно сообразить, сколько и каких дополнительных отсеков возникает при продолжении граней кубооктаэдра. Не считая самого исходного кубооктаэдра, мы получаем шесть правильных четырёхугольных пирамид с равносторонними боковыми гранями, восемь правильных треугольных пирамид с гранями в виде прямоугольных равнобедренных треугольников, 24 бипирамиды с равносторонними и прямоугольно-равнобедренными треугольными гранями, ещё 24 пирамиды, подобные шести описанным ранее, и, наконец, 24 пирамиды с ромбическими основаниями и равносторонними и прямоугольно-равнобедренными треугольными боковыми гранями. Сколько же тел может быть образовано добавлением таких отсеков? Это зависит от того, какие ограничения вы наложите на форму получающихся многогранников. Например, вы можете рассматривать (или не рассматривать) в качестве допустимых многогранники, вершины которых соединены лишь отсеками, или многогранники с отверстиями, сквозь которые можно проникнуть в их нутро², подобные тем, что мы наблюдали среди звёздчатых форм икосаэдра.

Ограничения, введённые Миллером для икосаэдра, в основном налагают на звёздчатые формы условия симметричности и возможности доступа к любой грани извне многогранника. Случай кубооктаэдра приводит к появлению всего четырёх звёздчатых форм, удовлетворяющих этим ограничениям. Это модели 43, 44, 45 и 46.

Как и ранее, на чертежах граней звёздчатых многогранников штриховкой обозначены видимые снаружи части граней. Они служат основой для изготовления заготовок, нужных для построения моделей.