Вы только что изучили, к каким результатам приводит процесс продолжения граней, применённый к платоновым и к двум архимедовым телам. Вы также заметили, что среди всех полученных этим способом многогранников оказалось крайне мало однородных. В самом деле, однородными многогранниками были лишь три звёздчатых додекаэдра и один звёздчатый икосаэдр. Припомните, что однородным считается такой многогранник, все грани которого суть правильные многоугольники (к их числу, возможно, принадлежат правильные  з в е з д ч а т ы е  многоугольники), а все вершины одинаковы. В список однородных многогранников, таким образом, попадают 5 платоновых тел, 13 архимедовых тел и 4 тела Кеплера — Пуансо. Существуют ли другие однородные многогранники? Вы, вероятно, удивитесь, узнав, что их ещё по крайней мере 53!

Каким образом они были открыты? 37 многогранников обнаружил Бадуро (1881), систематически исследовавший каждое из платоновых и архимедовых тел с целью найти правильные многоугольники или правильные звёзды среди сечений этих тел. Очевидно, подобный подход существенно отличается от рассмотренного нами выше. Если мы таким путём обнаружим искомый многоугольник, ясно, что его вершины должны совпасть с вершинами исходного выпуклого многогранника. Плоскости таких многоугольников могут пересекаться. Если из исходного тела удалить некоторые симметрично расположенные части, отделяемые этими плоскостями, мы можем получить новый однородный многогранник. Такой процесс резонно называть «огранкой» исходного многогранника. Он в каком-то смысле противоположен добавлению новых отсеков, получаемых продолжениями граней исходного тела, ибо последний процесс приводит к дополнению исходного тела новыми частями, тогда как огранка ведёт к удалению отсеков исходного тела (так что его поверхность может служить своеобразной оболочкой полученного многогранника).

Если с этих позиций вы исследуете тела Кеплера — Пуансо, то обнаружите, что как малый звёздчатый додекаэдр, так и большой додекаэдр могут быть получены огранкой икосаэдра. Вершины первого и рёбра второго совпадут соответственно с вершинами и рёбрами воображаемого икосаэдра, окружающего эти тела. Это хорошо заметно на моделях. Большой звёздчатый додекаэдр можно рассматривать и как огранённую, и как звёздчатую форму додекаэдра.

Если вы вообразите отрезки, соединяющие любую вершину большого звёздчатого додекаэдра с тремя соседними, то всё множество таких отрезков составит скелетный каркас правильного додекаэдра. По этой причине вершины большого звёздчатого додекаэдра совпадают с вершинами додекаэдра-оболочки. Аналогично большой икосаэдр можно рассматривать и как огранённую формуикосаэдра, и как звёздчатую его форму. Многие из представленных в книге моделей достаточно полно иллюстрируют идею огранки.

Помимо Бадуро, которого мы упомянули выше, этой темой занимались и другие исследователи. Среди них стоит упомянуть Гесса (1878), открывшего два новых однородных многогранника (обратите внимание: Гесс предшествовал Бадуро). Питч (1881) совершенно независимо нашёл 18 таких тел, причём некоторые из них не содержались в списке Бадуро. В 1930—1932 годах Кокстер и Миллер открыли 12 других, ранее не известных однородных многогранников, но не опубликовали результаты своих исследований, так как надеялись получить математическое доказательство того, что больше однородных тел не существует. Независимо от них М. Лонге-Хиггинс и Г. Лонге-Хиггинс в 1942—1944 годах нашли 11 (из 12) этих многогранников.

В 1952 году обе группы получили возможность ознакомиться с параллельно ведущимися работами. Тем временем в 1947 году Лесавр и Мерсье «переоткрыли» 5 из этих же 12 тел. В статье «Однородные многогранники» [18], вышедшей в свет в 1954 году, все известные тела были собраны вместе (к этому времени было найдено 75 однородных многогранников). Как отмечали авторы статьи, они предполагали, «что приведённое перечисление полное, хотя строгое доказательство этого ещё только требуется получить».

Метод перечисления, который применили эти исследователи, отличался от методов более ранних работ. Он основан на систематическом изучении всех возможных треугольников Шварца и составленных из них многогранных калейдоскопов. Треугольники Шварца связаны с треугольниками Мёбиуса, упомянутыми выше.