Этот многогранник замечателен по нескольким причинам. Прежде всего математически он отличается от всех других известных нам однородных многогранников. Вы можете спросить: не означает ли это, что существуют другие, подобные ему, которые пока не известны? На это мы можем ответить лишь цитатой из уже упоминавшейся работы Кокстера и др. «Однородные многогранники» ([18], стр. 427): «Требования однородности, накладываемые на более сложные многогранники, в свою очередь приводят к ряду требований, которые оказываются несовместимыми. Поэтому наш список однородных многогранников, вероятно, является полным». Многогранник 119 входит в список под номером 75.

Существенным отличием изображённого на фотографии многогранника от остальных является и то обстоятельство, что он единственный из известных нам многогранников, в каждой вершине которого сходятся более чем шесть граней. У него таких граней восемь. Они разбиваются на пары, лежащие в одной плоскости: 12 пар пентаграмм, 20 пар треугольников и 30 пар квадратов, расположенных в диаметральных плоскостях. Вблизи каждой вершины части квадратных граней чередуются с частями других граней.

Мы предлагаем строить модель многогранника методом соединения додекаэдральных блоков. Центральные их впадины напоминают впадины на модели соединения десяти тетраэдров — одной из звёздчатых форм икосаэдра.

Начните со склеивания в кольцо набора из пяти частей 1, раскрашенных в соответствии с икосаэдральной схемой (0). Отыскать эти, а также все следующие части на чертежах граней многогранника нетрудно. Склеенное кольцо представляет собой вогнутую пятиконечную звезду.

Проще всего раскрасить все части квадратных граней модели одним цветом, скажем чёрным (Ч). Тогда следующий этап сводится к подклеиванию небольших V-образных частей 2 между лучами вогнутой звезды: сначала наклейкой а, а после того, как подсохнет клей, наклейкой b. Теперь вогнутая звезда окружена своего рода «бахромой», как у скатерти.

Сделав эту часть работы, присоедините части 3 наклейками, помеченными буквами с и d. Раскраска частей 3 должна соответствовать раскраске части 1. Это соответствие нетрудно определить исходя из того, что треугольники части 3 лежат на продолжении тех же граней, в которых находятся половинки желобков — лучей звезды части 1.

Теперь подклейте наклейки, помеченные буквой t, и пространство между лучами звезды заполнится окончательно. Оставшиеся наклейки по рёбрам е и f лежат по сторонам косого десятиугольника. Этим завершается построение вогнутой звезды — центральной части одного додекаэдрального блока.

Переходите к соединению частей 4—8. Части 4, 5 и 7 лежат в гранях квадратов и поэтому должны быть окрашены в чёрный (Ч) цвет. Пунктирные линии следует нанести на тыльной поверхности соответствующих частей: по ним вы затем перегнёте части. Часть 6 лежит в плоскости треугольника, поэтому её раскраска не совпадает с раскраской соседних частей. И хотя на чертеже она показана соединённой с частями 5 и 7, в действительности её следует подготовить отдельно и лишь затем подклеить на место. Раскраску для двух частей 6 нетрудно определить, руководствуясь обычной перестановкой цветов, как описано ниже.

Для первого набора из пяти пар раскраска задаётся следующей последовательностью: ЖК, СЗ, ОЖ, КС, ЗО. Порядок цветов для левого элемента каждой пары: Ж, С, О, К, З. По существу тот же порядок сохраняется и для каждого правого элемента, однако для него следует начинать с третьей пары, продолжая раскраску правых элементов в циклическом порядке. Для последующих блоков вы должны исходить из этого же принципа. Так, к примеру, последовательность для блока (1) такова: СО, ЖЗ, КС, ОЖ, ЗК (здесь в основе лежит порядок: С, Ж, К, О, З) и т. д. При построении этого соединения оставляйте наклейки вдоль рёбер всех частей. Заштрихованную площадь на части 4 не отрезайте, нами она не помечена; следовательно, здесь не потребуются и наклейки.

Следующий этап работы во многом схож с одним из этапов работы над моделью 116: без показа его также практически нельзя описать сколько-нибудь понятно. Однако надеемся, что и здесь методом проб и ошибок вы добьётесь успеха.

Начните с левой стороны соединения. Перегните части 6 и 7 по общему ребру. При этом у вас образуется треугольный клин или выступ. Нанесите каплю-другую клея на наклейки g и h, перегните части 4 и 5 и расположите наклейки g и h на заштрихованной площади части 4. Закрепите соединение зажимами с помощью пинцета и дайте клею подсохнуть. То же проделайте с правой стороной. По окончании работы вы получите соединение, напоминающее бабочку. На его поверхности несложно обнаружить глубокие желобки между частями 4 н 5 и выступающие клинья из частей 6 и 7, пронизывающие поверхности частей 4. Теперь вам остаётся приклеить часть 8 наклейками по рёбрам j и k. Часть 8 следует окрасить в белый (Б) цвет, так как она лежит в плоскости сдвоенных пентаграмм.

Сделав пять соединений-бабочек, обклейте ими вогнутую звезду по рёбрам косого десятиугольника: наклейки e и f частей 5 должны соединиться с одноимёнными наклейками частей 3. На первых порах рекомендуем работать лишь с одними наклейками, например по рёбрам е. Как только клей на них подсохнет, перегните полученные соединения таким образом, чтобы можно было склеить и наклейки f. Поскольку они располагаются в довольно острых двугранных углах, вы можете воспользоваться зажимами.

Итак, вы получили новое соединение: его края снова образуют косой десятиугольник со сторонами, наклейки которых помечены буквами l и m. Обратите внимание: желобок между частями 4 и 5 одной «бабочки» соединяется с аналогичным желобком соседней. На этом этапе можно было бы склеить указанные части по линиям их соприкосновения, но особой необходимости нет. Постараемся объяснить, как можно добавить следующие звёзды, чтобы на этом же месте появились новые соприкасающиеся линии. Но, поскольку вся эта часть модели снаружи не видна, а сама модель достаточно прочна и без соединения указанных частей, в целях упрощения можно и не склеивать их между собой по линиям соприкосновения. К тому же это несколько упростит и выполнение следующего этапа работы.

Части 9 и 10 лежат в плоскостях сдвоенных пентаграмм, тогда как часть 11 лежит в плоскости квадрата. Поэтому части 9 и 10 следует окрасить в белый (Б), а обе части 11 — в чёрный (Ч) цвет. Можно вырезать последние части из одной заготовки, перегнув её затем по пунктирной линии. Как обычно, оставьте все наклейки по краям соединения. Наклейки n и p имеют особый рисунок. Их выступающие отрезки понадобятся впоследствии для соединения отдельных блоков между собой. Будучи склеенными с другими наклейками, они образуют одно целое. Перегиб по пунктирной линии и даст дополнительную линию соприкосновения, о которой мы говорили выше.

Это соединение — луч звезды — сделать весьма несложно. Рекомендуем прежде всего склеить между собой наклейки q и r. Образуется глубокий двугранный желоб. Теперь привяжите соединение наклейками l и m к одноимённым наклейкам двух частей 4.

Сначала подклейте наклейку l, а после того, как клей подсохнет, присоедините наклейку m. Обклейте таким способом все стороны косого десятиугольника, а затем соедините крест-накрест выступающие наклейки n и p у точечных оснований частей 8. Этим процессом вы завершите работу над одним додекаэдральным блоком.

Соединённые наклейки n и p образуют совершенно ровные края пятиугольника — основания блока. Это по существу правильный пятиугольник, если не считать того, что в его вершинах располагаются V-образные вырезы частей 9. Подготовив три таких блока, соедините их между собой наклейками n и p. В центре полученного соединения образуется шестиугольное отверстие. Его следует закрыть соединением, состоящим из частей 12 и 13. Шесть четырёхугольников (часть 12) окрашены в чёрный (Ч) цвет, так как они лежат в плоскостях шести пересекающихся квадратов. Они образуют боковые стенки чаши, основание которой сходится в точности к центру модели. Вблизи этого центра чаша подрезается своим донцем; последнее представляет собой неправильный шестиугольник с равными сторонами, лежащий в точности в центре плоскости сдвоенных треугольников. Этот шестиугольник указан на рисунке как часть 13. Его раскраска выполняется одним из цветов — Ж, С, О, К, З.

Лучше всего сразу же подготовить пять таких чаш (а всего их понадобится 20) и подклеить их к додекаэдральному блоку (0), как только он будет сделан. Чтобы правильно определить раскраску части 13, совместите точки z. части 13 и части 1: соответствующие части должны быть одноцветными.

Для построения модели вам потребуется 12 додекаэдральных блоков. Помните: прежде чем подклеить следующий блок, всегда заполняйте V-образные вырезы секций 9. Метод соединения напомнит вам построение модели правильного додекаэдра, но какая огромная разница между этими двумя моделями! В то время как додекаэдр имеет всего-навсего 12 плоских граней, рассматриваемая модель состоит из 12 блоков весьма сложной конструкции. Поистине замечательный многогранник! Построение его модели отнимет у вас не менее 50 часов.